高中數學平面向量數量積的物理背景及其含義的說課稿

時間：2020-11-09 17:14:36 高中說課稿我要投稿

關于高中數學平面向量數量積的物理背景及其含義的說課稿

　　說課內容：普通高中課程標準實驗教科書(人教A版)《數學必修4》第二章第四節“平面向量的數量積”的第一課時---平面向量數量積的物理背景及其含義。

關于高中數學平面向量數量積的物理背景及其含義的說課稿

　　下面，我從背景分析、教學目標設計、課堂結構設計、教學過程設計、教學媒體設計及教學評價設計六個方面對本節課的思考進行說明。

　　一、背景分析

　　1、學習任務分析

　　平面向量的數量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數學的一個重要概念，在數學、物理等學科中應用十分廣泛。本節內容教材共安排兩課時，其中第一課時主要研究數量積的概念，第二課時主要研究數量積的坐標運算，本節課是第一課時。

　　本節課的主要學習任務是通過物理中“功”的事例抽象出平面向量數量積的概念，在此基礎上探究數量積的性質與運算律，使學生體會類比的思想方法，進一步培養學生的抽象概括和推理論證的能力。其中數量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質和運算律的基礎。同時也因為在這個概念中，既有長度又有角度，既有形又有數，是代數、幾何與三角的最佳結合點，不僅應用廣泛，而且很好的體現了數形結合的數學思想，使得數量積的概念成為本節課的核心概念，自然也是本節課教學的重點。

　　2、學生情況分析

　　學生在學習本節內容之前，已熟知了實數的運算體系，掌握了向量的概念及其線性運算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運算的一般方法：即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念，然后再從概念出發，在與實數運算類比的基礎上研究性質和運算律。這為學生學習數量積做了很好的鋪墊，使學生倍感親切。但也正是這些干擾了學生對數量積概念的理解，一方面，相對于線性運算而言，數量積的結果發生了本質的變化，兩個有形有數的向量經過數量積運算后，形卻消失了，學生對這一點是很難接受的;另一方面，由于受實數乘法運算的影響，也會造成學生對數量積理解上的偏差，特別是對性質和運算律的理解。因而本節課教學的難點數量積的概念。

　　二、教學目標設計

　　《普通高中數學課程標準(實驗)》對本節課的要求有以下三條：

　　(1)通過物理中“功”等事例，理解平面向量數量積的含義及其物理意義。

　　(2)體會平面向量的數量積與向量投影的關系。

　　(3)能用運數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系。

　　從以上的背景分析可以看出，數量積的概念既是本節課的重點，也是難點。為了突破這一難點，首先無論是在概念的引入還是應用過程中，物理中“功”的實例都發揮了重要作用。其次，作為數量積概念延伸的性質和運算律，不僅能夠使學生更加全面深刻地理解概念，同時也是進行相關計算和判斷的理論依據。最后，無論是數量積的性質還是運算律，都希望學生在類比的基礎上，通過主動探究來發現，因而對培養學生的抽象概括能力、推理論證能力和類比思想都無疑是很好的載體。

　　綜上所述，結合“課標”要求和學生實際，我將本節課的教學目標定為：

　　1、了解平面向量數量積的物理背景，理解數量積的含義及其物理意義;

　　2、體會平面向量的數量積與向量投影的關系，掌握數量積的性質和運算律，

　　并能運用性質和運算律進行相關的運算和判斷;

　　3、體會類比的數學思想和方法，進一步培養學生抽象概括、推理論證的能力。

　　三、課堂結構設計

　　本節課從總體上講是一節概念教學，依據數學課程改革應關注知識的發生和發展過程的理念，結合本節課的知識的邏輯關系，我按照以下順序安排本節課的教學：

　　即先從數學和物理兩個角度創設問題情景，通過歸納和抽象得到數量積的概念，在此基礎上研究數量積的性質和運算律，使學生進一步加深對概念的理解，然后通過例題和練習使學生鞏固概念，加深印象，最后通過課堂小結提高學生認識，形成知識體系。

　　四、教學媒體設計

　　和“大綱”教材相比，“課標”教材在本節課的內容安排上，雖然將向量的夾角在“平面向量基本定理”一節提前做了介紹，但卻將原來分兩節課完成的內容合并成一節，相比較而言本節課的教學任務加重了許多。為了保證教學任務的完成，順利實現本節課的教學目標，考慮到本節課的實際特點，在教學媒體的使用上，我的設想主要有以下兩點：

　　1、制作高效實用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關內容的呈現方式，以此來節約課時，增加課堂容量。

　　2、設計科學合理的板書(見下)，一方面使學生加深對主要知識的印象，另一方面使學生清楚本節內容知識間的邏輯關系，形成知識網絡。

　　平面向量數量積的物理背景及其含義

　　一、數量積的概念二、數量積的性質四、應用與提高

　　1、概念：例1：

　　2、概念強調 (1)記法例2：

　　(2)“規定” 三、數量積的運算律例3：

　　3、幾何意義：

　　4、物理意義：

　　五、教學過程設計

　　課標指出：數學教學過程是教師引導學生進行學習活動的過程，是教師和學生間互動的過程，是師生共同發展的過程。為有序、有效地進行教學，本節課我主要安排以下六個活動：

　　活動一：創設問題情景，激發學習興趣

　　正如教材主編寄語所言，數學是自然的，而不是強加于人的。平面向量的數量積這一重要概念，和向量的線性運算一樣，也有其數學背景和物理背景，為了體現這一點，我設計以下幾個問題：

　　問題1：我們已經研究了向量的哪些運算?這些運算的結果是什么?

　　問題2：我們是怎么引入向量的加法運算的?我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的?

　　期望學生回答：物理模型→概念→性質→運算律→應用

　　問題3：如圖所示，一物體在力F的作用下產生位移S，

　　(1)力F所做的功W= 。

　　(2)請同學們分析這個公式的特點：

　　W(功)是量，

　　F(力)是量，

　　S(位移)是量，

　　α是。

　　問題1的'設計意圖在于使學生了解數量積的數學背景，讓學生明白本節課所要研究的數量積與向量的加法、減法及數乘一樣，都是向量的運算，但與向量的線性運算相比，數量積運算又有其特殊性，那就是其結果發生了本質的變化。

　　問題2的設計意圖在于使學生在與向量加法類比的基礎上明了本節課的研究方法和順序，為教學活動指明方向。

　　問題3的設計意圖在于使學生了解數量積的物理背景，讓學生知道，我們研究數量積絕不僅僅是為了數學自身的完善，而是有其客觀背景和現實意義的，從而產生了進一步研究這種新運算的愿望。同時，也為抽象數量積的概念做好鋪墊。

　　活動二：探究數量積的概念

　　1、概念的抽象

　　在分析“功”的計算公式的基礎上提出問題4

　　問題4：你能用文字語言來表述功的計算公式嗎?如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結果又該如何表述?

　　學生通過思考不難回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積;兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。這樣，學生事實上已經得到數量積概念的文字表述了，在此基礎上，我進一步明晰數量積的概念。

　　2、概念的明晰

　　已知兩個非零向量

　　與

　　，它們的夾角為

　　，我們把數量︱

　　︱·︱

　　︱cos

　　叫做

　　與

　　的數量積(或內積)，記作：

　　，即：

　　= ︱

　　︱·︱

　　︱cos

　　在強調記法和“規定”后，為了讓學生進一步認識這一概念，提出問題5

　　問題5：向量的數量積運算與線性運算的結果有什么不同?影響數量積大小的因素有哪些?并完成下表：

　　角

　　的范圍0°≤

　　<90°

　　=90°0°<

　　≤180°

　　的符號

　　通過此環節不僅使學生認識到數量積的結果與線性運算的結果有著本質的不同，而且認識到向量的夾角是決定數量積結果的重要因素，為下面更好地理解數量積的性質和運算律做好鋪墊。

　　3、探究數量積的幾何意義

　　這個問題教材是這樣安排的：在給出向量數量積的概念后，只介紹了向量投影的定義，直到講完例1后，為了證明運算律的第三條才直接以結論的形式呈現給學生，我覺得這樣安排似乎不太自然，還不如在給出向量投影的概念后，直接由學生自己歸納得出，所以做了調整。為此，我首先給出給出向量投影的概念，然后提出問題5。

　　如圖，我們把│

　　│cos

　　(│

　　│cos

　　)叫做向量

　　在

　　方向上(

　　在

　　方向上)的投影，記做：OB1=│

　　│cos

　　問題6：數量積的幾何意義是什么?

　　這樣做不僅讓學生從“形”的角度重新認識數量積的概念，從中體會數量積與向量投影的關系，同時也更符合知識的連貫性，而且也節約了課時。

　　4、研究數量積的物理意義

　　數量積的概念是由物理中功的概念引出的，學習了數量積的概念后，學生就會明白功的數學本質就是力與位移的數量積。為此，我設計以下問題一方面使學生嘗試計算數量積，另一方面使學生理解數量積的物理意義，同時也為數量積的性質埋下伏筆。

　　問題7：

　　(1) 請同學們用一句話來概括功的數學本質：功是力與位移的數量積。

　　(2)嘗試練習：一物體質量是10千克，分別做以下運動：

　　①、在水平面上位移為10米;

　　②、豎直下降10米;

　　③、豎直向上提升10米;

　　④、沿傾角為30度的斜面向上運動10米;

　　分別求重力做的功。

　　活動三：探究數量積的運算性質

　　1、性質的發現

　　教材中關于數量積的三條性質是以探究的形式出現的，為了很好地完成這一探究活動，在完成上述練習后，我不失時機地提出問題8：

　　(1)將嘗試練習中的① ② ③的結論推廣到一般向量，你能得到哪些結論?

　　(2)比較︱

　　︱與︱

　　︱×︱

　　︱的大小，你有什么結論?

　　在學生討論交流的基礎上，教師進一步明晰數量積的性質，然后再由學生利用數量積的定義給予證明，完成探究活動。

　　2、明晰數量積的性質

　　3、性質的證明

　　這樣設計體現了教師只是教學活動的引領者，而學生才是學習活動的主體，讓學生成為學習的研究者，不斷地體驗到成功的喜悅，激發學生參與學習活動的熱情，不僅使學生獲得了知識，更培養了學生由特殊到一般的思維品質。

　　活動四：探究數量積的運算律

　　1、運算律的發現

　　關于運算律，教材仍然是以探究的形式出現，為此，首先提出問題9

　　問題9：我們學過了實數乘法的哪些運算律?這些運算律對向量是否也適用?

　　通過此問題主要是想使學生在類比的基礎上，猜測提出數量積的運算律。

　　學生可能會提出以下猜測： ①

　　②(

　　)

　　(

　　) ③(

　　)·

　　猜測①的正確性是顯而易見的。

　　關于猜測②的正確性，我提示學生思考下面的問題：

　　猜測②的左右兩邊的結果各是什么?它們一定相等嗎?

　　學生通過討論不難發現，猜測②是不正確的。

　　這時教師在肯定猜測③的基礎上明晰數量積的運算律：

　　2、明晰數量積的運算律

　　3、證明運算律

　　學生獨立證明運算律(2)

　　我把運算運算律(2)的證明交給學生完成，在證明時，學生可能只考慮到λ>0的情況,為了幫助學生完善證明，提出以下問題：

　　當λ<0時，向量

　　與λ

　　，

　　與λ

　　的方向的關系如何?此時，向量λ

　　與

　　及

　　與λ

　　的夾角與向量

　　與

　　的夾角相等嗎?

　　師生共同證明運算律(3)

　　運算律(3)的證明對學生來說是比較困難的，為了節約課時，這個證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意。

　　在這個環節中，我仍然是首先為學生創設情景，讓學生在類比的基礎上進行猜想歸納，然后教師明晰結論，最后再完成證明，這樣做不僅培養了學生推理論證的能力，同時也增強了學生類比創新的意識，將知識的獲得和能力的培養有機的結合在一起。

　　活動五：應用與提高

　　例1、(師生共同完成)已知︱

　　︱=6，︱

　　︱=4,

　　與

　　的夾角為60°，求

　　(

　　)·(

　　-3

　　)，并思考此運算過程類似于哪種運算?

　　例2、(學生獨立完成)對任意向量

　　，b是否有以下結論：

　　(1)(

　　)2=

　　2+2

　　(2)(

　　)·(

　　2—

　　例3、(師生共同完成)已知︱

　　︱=3，︱

　　︱=4, 且

　　與

　　不共線，k為何值時，向量

　　與

　　-k

　　互相垂直?并思考：通過本題你有什么收獲?

　　本節教材共安排了四道例題，我根據學生實際選擇了其中的三道，并對例1和例3增加了題后反思。例1是數量積的性質和運算律的綜合應用，教學時，我重點從對運算原理的分析和運算過程的規范書寫兩個方面加強示范。完成計算后，進一步提出問題：此運算過程類似于哪種運算?目的是想讓學生在類比多項式乘法的基礎上自己猜測提出例2給出的兩個公式，再由學生獨立完成證明，一方面這并不困難，另一方面培養了學生通過類比這一思維模式達到創新的目的。例3的主要作用是，在繼續鞏固性質和運算律的同時，教給學生如何利用數量積來判斷兩個向量的垂直，是平面向量數量積的基本應用之一，教學時重點給學生分析數與形的轉化原理。

　　為了使學生更好的理解數量積的含義，熟練掌握性質及運算律，并能夠應用數量積解決有關問題，再安排如下練習：

　　1、下列兩個命題正確嗎?為什么?

　　①、若

　　≠0，則對任一非零向量

　　，有

　　≠0.

　　②、若

　　≠0，

　　，則

　　2、已知△ABC中，

　　，當

　　<0或